reset()$ kill(all)$

# Metody Numeryczne w Mechanice

## Układy prętowe - pręty i belki

Często spotykanymi zagadnieniami rozwiązywanymi MES są układy prętowe: 
kratownice (pręty rozciągane i ściskane i ramy (belki zginane skręcane 
rozciągane- ściskane. Układy te są poddawane analizie przy założeniu:

1. małych deformacji 
2. liniowo sprężystego modelu materiału
3. obciążenia są przykładane do materiału w sposób statyczny -
   przy bardzo małych prędkościach, nie uwzględniamy więc efektów inercyjnych

### Jednowymiarowy element rozciągany ściskany 
definicja bezpośrednia

C:\praca\Maxima_w_przykladach\metody_numeryczne\MES\rod_geoemtria.png

gdzie : L               długość 
        A               pole przekroju poprzecznego
        E               moduł Younga
        f               siła osiowa
        u= u(x)         przemieszczenie
        esp=eps(x)      odkształcenie
        sigma=sigma(x)  naprężenie

odkształcenie i naprężenie

C:\praca\Maxima_w_przykladach\metody_numeryczne\MES\eq4_5.png

zakladamy również funkcję deformacji u(x) spełniajacą warunki brzegowe x=0 -> u=u[i]
oraz x=L -> u=u[j]

C:\praca\Maxima_w_przykladach\metody_numeryczne\MES\eq3.png

siły f[] wyliczamy w węzlach 'i' oraz 'j' z zależności:

f[i]=(A*E/L)*(u[i]-u[j]);
f[j]=(A*E/L)*(u[j]-u[\i]);

w formie macierzowej mamy uklad dwu równanie liniowych z dwiema niewiadomymi
w czterech wariantach:
        1. u[i], u[j]
        2. f[i], f[j]
        3. u[i], f[j]
        4. u[j], f[i]

C:\praca\Maxima_w_przykladach\metody_numeryczne\MES\eq9.png

gdzie wyrażenie 

C:\praca\Maxima_w_przykladach\metody_numeryczne\MES\eq8.png

to macierz sztywności pręta - rozciąganego- ściskanego

element prętowy ma dwa stopnie swobody - 
tyle ile zdefiniowano niezależnych przemieszczeń

### Przykład układu jednowymiarowego

Znaleźć naprężenie w układzie prętowym obciążonym siła F i obustronnie 
utwierdzonym

C:\praca\Maxima_w_przykladach\metody_numeryczne\MES\P_II.png

uklad dzielimy na dwa elementy oraz trzy węzły

dla  elementu 1 i 2 mamy następujące postacie macierzy sztywności

C:\praca\Maxima_w_przykladach\metody_numeryczne\MES\P_II_2.png

C:\praca\Maxima_w_przykladach\metody_numeryczne\MES\P_II_3.png

Po złożeniu według stopni swobody (tu numerów węzłów) otrzymujemy macierz
globalnąc sztywności

C:\praca\Maxima_w_przykladach\metody_numeryczne\MES\P_II_4.png

po uwzględnieniu warunków brzegowych u[1]=0 i u[3]=0  i obciążeń F[2]=P mamy

C:\praca\Maxima_w_przykladach\metody_numeryczne\MES\P_II_5.png

stąd po rozwiazaniu układu mamy

C:\praca\Maxima_w_przykladach\metody_numeryczne\MES\P_II_6.png

a układ przyjmuje postać

C:\praca\Maxima_w_przykladach\metody_numeryczne\MES\P_II_7.png

naprężenie osiowe w elemencie pierwszym otrzymujemy z

C:\praca\Maxima_w_przykladach\metody_numeryczne\MES\P_II_10.png

C:\praca\Maxima_w_przykladach\metody_numeryczne\MES\P_II_11.png

zaś w pręcie drugim

C:\praca\Maxima_w_przykladach\metody_numeryczne\MES\P_II_12.png

C:\praca\Maxima_w_przykladach\metody_numeryczne\MES\P_II_13.png

### Element prętowy w przestrzeni 2D i 3D

C:\Documents and Settings\ctl\Moje dokumenty\Dysk Google\prezentacje & WAT\metody_numeryczne\MES\Rod_III_1.png

przykład elementu belkowego w lokalnym i globalnym układzie odniesienia

C:\Documents and Settings\ctl\Moje dokumenty\Dysk Google\prezentacje & WAT\metody_numeryczne\MES\Rod_III_2.png

w formie macierzowej powyższe przyjmuje postać 

C:\Documents and Settings\ctl\Moje dokumenty\Dysk Google\prezentacje & WAT\metody_numeryczne\MES\Rod_III_3.png

Ponieważ w układzie 2D każdy koniec pręta ma po dwa stopnie swobody
związki pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi globalnego i lokalnego układu 
współrzędnych przyjmują postać

C:\Documents and Settings\ctl\Moje dokumenty\Dysk Google\prezentacje & WAT\metody_numeryczne\MES\Rod_III_4.png

Równania równowagi w lokalnym układzie odniesienia (primowym)

C:\Documents and Settings\ctl\Moje dokumenty\Dysk Google\prezentacje & WAT\metody_numeryczne\MES\Rod_III_5.png

lub po uzupełnieniu  o składowe przemieszczeń normalne  do pręta (równe tu zero !!!!)

C:\Documents and Settings\ctl\Moje dokumenty\Dysk Google\prezentacje & WAT\metody_numeryczne\MES\Rod_III_6.png

Macierz sztywności w układzie globalnym w 2D :

C:\Documents and Settings\ctl\Moje dokumenty\Dysk Google\prezentacje & WAT\metody_numeryczne\MES\Rod_III_7.png

gdzie:

C:\Documents and Settings\ctl\Moje dokumenty\Dysk Google\prezentacje & WAT\metody_numeryczne\MES\Rod_III_8.png

Naprężenia osiowe w pręcie wyliczamy z prostej zależności:

C:\Documents and Settings\ctl\Moje dokumenty\Dysk Google\prezentacje & WAT\metody_numeryczne\MES\Rod_III_9.png

lub prościej 

C:\Documents and Settings\ctl\Moje dokumenty\Dysk Google\prezentacje & WAT\metody_numeryczne\MES\Rod_III_10.png

### Przykład kratownicy 

C:\Documents and Settings\ctl\Moje dokumenty\Dysk Google\prezentacje & WAT\metody_numeryczne\MES\P_III_1.png

wyznaczyć przemieszczenie węzła 2 oraz naprężenia w każdym pręcie

Dla elementu 1 ustawionego pod kątem 45 mamy 

C:\Documents and Settings\ctl\Moje dokumenty\Dysk Google\prezentacje & WAT\metody_numeryczne\MES\P_III_2.png

Macierz sztywności dla tego elementu w globalnym układzie 
odniesienia jest:

C:\Documents and Settings\ctl\Moje dokumenty\Dysk Google\prezentacje & WAT\metody_numeryczne\MES\P_III_3.png

Dla elementu 2 mamy

C:\Documents and Settings\ctl\Moje dokumenty\Dysk Google\prezentacje & WAT\metody_numeryczne\MES\P_III_4.png

Macierz sztywności dla tego elementu w globalnym układzie 
odniesienia jest:

C:\Documents and Settings\ctl\Moje dokumenty\Dysk Google\prezentacje & WAT\metody_numeryczne\MES\P_III_5.png

Kolejny krok to złożenie z cząstkowych macierzy sztywności każdego
elementu macierzy globalnej. 
Składamy ją według numerów  stopni swobody przypisanych do kazdego węzła

C:\Documents and Settings\ctl\Moje dokumenty\Dysk Google\prezentacje & WAT\metody_numeryczne\MES\P_III_6.png

Obciążenia i wqaruki brzegowe dla rozważanej kratownicy 
przyjmują postać:

C:\Documents and Settings\ctl\Moje dokumenty\Dysk Google\prezentacje & WAT\metody_numeryczne\MES\P_III_7.png

Rozwiązując układ równań liniowych otrzymujemy w kolejnym 
kroku jego prostą postać z której wyznaczamy interesujące 
nas przemieszczenie węzła 2

C:\Documents and Settings\ctl\Moje dokumenty\Dysk Google\prezentacje & WAT\metody_numeryczne\MES\P_III_8.png

C:\Documents and Settings\ctl\Moje dokumenty\Dysk Google\prezentacje & WAT\metody_numeryczne\MES\P_III_9.png

Wyznaczenie naprężeń w obu prętach wymaga obliczenia   

C:\Documents and Settings\ctl\Moje dokumenty\Dysk Google\prezentacje & WAT\metody_numeryczne\MES\P_III_10.png